Натуральные числа. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.

Пусть даны числа 12 и 18. Выпишем числа, кратные 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .

Выпишем числа, кратные 18:

18, 36, 54, 72, ... .

Среди выписанных чисел есть одинаковые:

36, 72, ... .

Все эти числа называют общими кратными чисел 12 и 18, а наи­меньшее из них — число 36 — называют наименьшим общим кратным чисел 12, 18.

Аналогично определяется наименьшее общее кратное произ­вольных натуральных чисел а и b, оно обозначается К (а, b) (читается: «К от а, b»). Любое общее кратное чисел а и b де­лится на К (а, b).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Пример. Найти К (3780, 7056).

Решение. Имеем 3780 = 2²•3³•5•7; 7056 = 2⁴•3²•7² (см.  Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.).

Тогда К (3780, 7056) = 24-33-5-72, т. е. взяты все простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел 3780 и 7056.

Итак, К (3780, 7056) = 105 840.

Для любых натуральных а и b справедливо равенство

D(a, b)•K(a, b) = ab.

Если, в частности, числа а и b взаимно простые, т. е. D (а, b) = 1, то К (а, b) = аb. Это значит, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Источник: ”Математика:   Справ,   материалы:   Кн.   для   учащих­ся.— М.: Просвещение, 1988.” Авторы: Гусев В. А., Мордкович А. Г. с. 16-17.